Рис. 10. Виды циклических алгоритмов - Решение любой задачи является творческим процессом, который состоит из нескольких...


^ Рис. 10. Виды циклических алгоритмов

Классическим примером циклического алгоритма служит алгоритм для вычисления степени числа Y=X? . Этот алгоритм может быть реализован на основе операции умножения. Табличное представление такого алгоритма, отражающего зависимость У от Х при изменении показателя степени n от 1 до 3, представлено в табл.3. В этой таблице показанны также реккурентные соотношения между У и Х, определяющие как на каждом шаге зависит значение У от значения Х и от значения У, вычисленного на предыдущем шаге.

^ Таблица 3. Реккурентные соотношения при вычислении Y=X^n

n

Y

Реккурентные соотношения

1

Y[1]=X

Y=X

2

Y[2]=X*X или Y[2]=Y[1]*X

Y=X*X или Y=Y*X

3

Y[3]=X*X*X или Y[3]=Y[2]*X

Y=X*X*X или Y=Y*X

^ Циклические алгоритмы - Задания для самостоятельного выполнения

Составить визуальные циклические алгоритмы для следующих задач.

Вычислить число в факториале Y=X!

Вычислить сумму ряда , общий член которого задан формулой An=(x*n)/n!.

При табулировании функции y=cos(x+a) на отрезке [1,10] c шагом h=1 определить сумму значений y , больших p.

Подсчитать количество цифр в целом числе Х.

Вычислить сумму значений функции у=x^2 на отрезке [1,5] c шагом 1.

* Найти минимальное значение функции Y=Sin(X)*X , на отрезке [C,D] с шагом 0.001. Реализовать цикл с постусловием. (Решение)

Протабулировать функцию y=sin(x) на отрезке [1,5] с шагом h=0,5. Вывести предпоследнее положительное значение функции.

Определить постановку задачи и составить визуальный алгоритм для этой задачи, если табличное представление ее решения изображено ниже:

^ Условие N>0

S

N

 

0

125

125>0 - да

0+5=5

12

12>0 - да

5+2=7

1

1>0 - да

7+1=8

0

0>0 - нет

 

 

Составить визуальную и табличную формы алгоритма по его текстовому представлению, а также определить конечное значение S .

I=0; S=0;
Пока I<3
      I=I+3;
      S=S+I*I;
Вывод S

I=1; S=0;
Пока I>1
      S=S+1/I;
      I=I-1;
Вывод S

Составить визуальную и текстовую форму представления алгоритма, заданного в табличной форме.

I

J

S

 

 

0

1

2

0+1+2=3

 

3

3+1+3=7

2

2

7+2+2=11

 

3

11+2+3=16

Определить является ли данный фрагмент алгоритма циклом, если да, то какого вида и какое действие является телом цикла?  





Протабулировать функцию Y=tg(X), при изменении X на отрезке [A,B] с шагом K и определить количество точек разрыва(M) этой функции. (Решение)

Определите местонахождение ошибок в алгоритмическом решении следующей задачи. Найти минимальное значение функции Y=A*X2+Sin(X)*X0,5 , для Х изменяющемся на отрезке [C,D] с шагом 0,01.



^ Алгоритмы обработки последовательностей чисел

Последовательность значений. Примером последовательности целых чисел может быть следующий набор значений: (2,5,-4,10,1,0). Последовательности значений отличаются от массивов значений тем, что в памяти одновременно все значения последовательности не хранятся. Для обозначения значения последовательности используют одну переменную, в которую на каждом шаге итерации вводится очередное значение последовательности. Отличительной особенностью последовательности является также возможность содержания неопределенного или неизвестного заранее количества ее значений. В этом случае критерием окончания последовательности служит некоторое особое значение, например, ноль.

^ Алгоритмы обработки последовательностей чисел - Задания для самостоятельного выполнения

Составить визуальные циклические алгоритмы для следующих задач обработки последовательности значений.

В последовательности чисел подсчитать произведение чисел, кратных 3.

В последовательности чисел сравнить ,что больше сумма положительных или произведение отрицательных.

В последовательности чисел определить предпоследнее отрицательное число.(При решении введите дополнительную переменную для хранения предпоследнего отрицательного числа).

В последовательности целых положительных чисел определить максимальное число (Рекомендуем реализовать такой алгоритм :
      Вводим Х
      mах=Х
      Цикл с постусловием
            a) Если элемент Х > max то max:=Х (значение этого элемента);
            б) Вводим новый элемент последовательности Х.
      Условие выхода из цикла Х=0 )

В последовательности целых чисел определить третье положительное число и подсчитать количество цифр в нем.

^ Алгоритмы обработки одномерных числовых массивов

Под структурой данных типа массив понимают однородную структуру однотипных данных, одновременно хранящихся в последовательных ячейках оперативной памяти. Эта структура должна иметь имя и определять заданное количество данных (элементов). Однотипность данных определяет возможность использования циклических алгоритмов для обработки всех элементов массива. Количество итераций цикла определяется количеством элементов массива. Одновременное хранение в памяти всех элементов массива позволяет решать большой набор задач, таких как, поиск элементов, упорядочение и изменение порядка следования элементов.
Доступ к любому элементу массива осуществляется по его номеру ( индексу ). Поэтому для обращения к элементу массива используют имя массива (номер элемента), например, А(5).
^ Одномерный массив.





^ Рис. 16. Алгоритм ввода элементов
Рассмотрим простой алгоритм ввода элементов одномерного числового массива A из 9 элементов. В этом циклическом алгоритме условие выхода из цикла определяется значением специальной переменной К, которая называется счетчиком элементов массива А (рис.16), эта же переменная К определяет количество итераций циклического алгоритма ввода элементов массива. На каждом шаге итерации переменная К(значение номера элемента массива А) изменяется на 1, то есть происходит переход к новому элементу массива. В дальнейшем, при рассмотрении алгоритмов обработки одномерных массивов в целях устранения дублирования алгоритм ввода элементов массива будем заменять одним блоком, подразумевая, что он реализуется по схеме, циклического алгоритма, представленного на рисунке 16.

Пример 9

Часто для проверки правильности работы алгоритмов на конкретных наборах данных используют таблицу трассировки. Эта таблица содержит столько столбцов, сколько переменных и условий в алгоритме, в ней мы выполняем действия шаг за шагом от начала до конца алгоритма для конкретных наборов входных данных.

Пример 10

Рассмотрим несколько более сложных алгоритмов, в которых осуществляется изменение порядка следования элементов в одномерном массиве. К таким алгоритмам относят алгоритмы с перестановкой элементов местами, алгоритмы удаления некоторых элементов или циклического переноса некоторых элементов в начало или конец массива. Основным требованием при составлении алгоритмов обработки массивов является использование минимально необходимых переменных. Чтобы точнее уяснить постановку задачи следует сначала рассмотреть частные решения для некоторых значений входных данных (провести анализ) , затем обобщить полученное решение и определить набор решаемых задач. Составив визуальный алгоритм, его следует проверить на различных наборах исходных данных. Эти наборы исходных данных требуется подбирать таким образом, чтобы при заполнении таблиц трассировок проверить все пути вычислений данного алгоритма от начальной вершины до конечной.

^ Алгоритмы обработки одномерных числовых массивов - Задания для самостоятельного выполнения

Составить визуальные циклические алгоритмы и таблицы трассировки для следующих задач обработки одномерных массивов.

*В одномерном массиве определить первый отрицательный элемент и его номер.

Исключить из массива А1..AN пеpвый отpицательный элемент.

Исключить из массива А1..AN пеpвый четный элемент, следующий за максимальным.

Дан массив целых чисел a1,..an.Выяснить, какая из трех ситуаций имеет место: все числа a1,..an равны нулю,в последовательности a1,...,an первое ненулевое число - положительное, первое ненулевое число - отрицательное.

Дан массив целых чисел a1,..an.Выяснить, какая из трех ситуаций имеет место: все числа a1,..an равны нулю,в последовательности a1,...,an первое ненулевое число - положительное, первое ненулевое число - отрицательное.

Даны целые числа a1,..,an. Определить количество целых чисел, входящих в последовательность a1,...,an по одному разу.

Даны действительные числа a1,..,an. Требуется найти В равное среднему арифметическому чисел a1,..,an, и наибольшее отклонение от среднего, т.е. max(/a1-b/,/a2-b/,../an-b/).

Дан массив действительных чисел a1,...,an. Найти максимальный элемент среди отрицательных элементов и поменять его местами с минимальным положительным.

*В одномерном массиве перенести в начало максимальный элемент. (Решение)

Пеpенести в начало одномеpного массива втоpой нулевой элемент.

Ввести массив а1,...,а16. Получить новый массив по правилу (а1 + а16, а2+а15,...,а8+а9). Найти минимальный элемент полученного массива.

*В одномерном массиве перенести в конец минимальный элемент . (Решение)

Пеpенести в хвост одномеpного массива все отpицательные элементы.

Пеpенести в начало одномеpного массива все нечетные элементы.

В одномерном массиве найти первую группу повторяющихся элементов.

Выполните примеры 10 и 11, реализуя ввод элементов массива в цикле, в котором производится их обработка.

^ Алгоритмы сортировки одномерных массивов

Сортировка. Целью сортировки являются упорядочение массивов для облегчения последующего поиска элементов в данном массиве. Рассмотрим основные алгоритмы сортировки по возрастанию числовых значений элементов массивов. Существует много методов сортировки массивов. В этой работе будут рассмотрены алгоритмы двух методов: модифицированного метода простого выбора и метода парных перестановок.

^ Алгоритмы сортировки одномерных массивов - Сортировка модифицированным методом простого выбора

Этот метод основывается на алгоритме поиска минимального элемента. В массиве А(1..n) отыскивается минимальный элемент, который ставится на первое место . Для того, чтобы не потерять элемент , стоящий на первом месте , этот элемент устанавливается на место минимального . Затем в усеченной последовательности, исключая первый элемент, отыскивается минимальный элемент и ставится на второе место и так далее n-1 раз пока не встанет на свое место предпоследний n-1 элемент массива А, сдвинув максимальный элемент в самый конец.

Рассмотрим алгоритмическое решение задачи на примере сортировки некоторого массива значений по возрастанию. В соответствии с вышеописанным методом нам необходимо несколько раз выполнять операции поиска минимального элемента и его перестановку с другим элементом, то есть потребуется несколько раз просматривать элементы массива с этой целью. Количество просмотров элементов массива согласно описанию модифицированного метода простого выбора равно n-1, где n- количество элементов массива. Таким образом, можно сделать вывод, что проектируемый алгоритм сортировки будет содержать цикл, в котором будет выполняться поиск минимального элемента и его перестановка с другим элементом. Обозначим через i - счетчик (номер) просмотров элементов массива и изобразим обобщенный алгоритм сортировки на рис.27.



^ Рис.27. Обобщенный алгоритм сортировки массива модифицированным методом простого выбора

Отметим, что для перестановки элементов местами необходимо знать их порядковые номера, алгоритм перестановки элементов массива был рассмотрен ранее (см. рис. 23). Алгоритмы ввода исходного массива и вывода этого же массива после сортировки изображены на рисунках 16 и 24 соответственно. Алгоритм поиска в массиве минимального элемента и его номера будет аналогичен рассмотренному в примере 10 алгоритму поиска максимального элемента, который представлен на рис.18. Однако, в этом алгоритме будут внесены изменения. Для того, чтобы определить какие изменения следует внести рассмотрим выполнение сортировки данным методом с акцентом на поиск минимального элемента на конкретном примере. Пусть исходный массив содержит 5 элементов (2,8,1,3,7). Количество просмотров согласно модифицированному методу простого выбора будет равно 4. Покажем в таблице 7, как будет изменяться исходный массив на каждом просмотре.

^ Таблица 7. Пример сортировки

Номер просмотра массива i

Исходный массив

Минимальный элемент

Переставляемый элемент

Массив после перестановки

Номер

Значение

Номер

Значение

 1

 (2,8,1,3,7)

 3

 1

 1

 2

 (1,8,2,3,7)

 2

 1,(8,2,3,7)

 3

 2

 2

 8

 1,(2,8,3,7)

 3

 1,2,(8,3,7)

 4

 3

 3

 8

 1,2,(3,8,7)

 4

 1,2,3,(8,7)

 5

 7

 4

 8

 1,2,3,7,8


Из данных, приведенных в таблице 7, следует, что поиск минимального значения в массиве на каждом просмотре осуществляется в сокращенном массиве, который сначала начинается с первого элемента, а на последнем просмотре массив, в котором ищется минимальный элемент начинается уже с четвертого (или n-1) элемента. При этом можно заметить, что номер первого элемента массива для каждого поиска и перестановки совпадает с номером просмотра i.

      Введем следующие обозначения :
      К- номер минимального элемента,
      J - номер элемента массива,
      М и А(К)- одно и тоже значение минимального элемента массива,
      i - номер переставляемого с минимальным элемента,
      А(i)- значение переставляемого элемента.

Тогда циклический алгоритм сортировки модифицированным методом простого выбора будет выглядеть следующим образом (рис.28).



^ Рис.28. Алгоритм сортировки массива модифицированным методом простого выбора

В этом алгоритме 2 цикла, внутренний цикл выделен цветом.  

^ Алгоритмы сортировки одномерных массивов - Сортировка методом парных перестановок

Самый простой вариант этого метода сортировки массива основан на принципе сравнения и обмена пары соседних элементов. Процесс перестановок пар повторяется просмотром массива с начала до тех пор , пока не будут отсортированы все элементы , т.е. во время очередного просмотра не произойдет ни одной перестановки. Для подсчета количества перестановок целесообразно использовать счетчик - специальную переменную В. Если при просмотре элементов массива значение счетчика перестановок осталось равным нулю, то это означает, что все элементы отсортированы (см.рис.29).



Рис.29. Алгоритм сортировки методом парных перестановок содержит два цикла, внутренний цикл выделен цветом

^ Алгоритмы сортировки одномерных массивов - Задания для самостоятельного выполнения

Составить визуальные циклические алгоритмы и таблицы трассировки для следующих задач сортировки одномерных массивов.

Ввести массив a1,a2,...,a15. Расположить ненулевые элементы по убыванию.

Ввести массив x1,x2,...,x20. Элементы, на нечетных местах, расположить в порядке возрастания, а на нечетных в порядке убывания.

Ввести массив a1,a2,...,a15. Требуется упорядочить его по возрастанию абсолютных значений элементов

Ввести массив x1,x2,...,x20. Требуется расположить отрицательные элементы в порядке убывания.

Алгоритмы обработки упорядоченных массивов

Рассмотренные выше алгоритмы сортировки считаются одними из важнейших процедур упорядочивания структурированной данных, хранимых в виде массивов. Одной из главных целей задач сортировки массивов является облегчение их дальнейшей обработки, так как для упорядоченных данных разработаны эффективные методы поиска и обновления. Так, например, поиск минимального или максимального значения в упорядоченном массиве сводится к выборке первого или последнего элемента массива. Рассмотрим некоторые алгоритмы обработки упорядоченных массивов.

^ Алгоритмы обработки упорядоченных массивов - Поиск элементов в упорядоченном массиве

Задача поиска значения Х в упорядоченном по возрастанию значений массиве A(1)<,..,Х, то все элементы, имеющие номера с S по n также больше Х в силу упорядоченности массива по возрастанию значений. Поэтому для дальнейшего поиска половину значений массива можно исключить из рассмотрения. В первом случае - левую, во втором случае - правую половину. Рассмотрим пример. Допустим, что требуется определить совпадает ли значение Х=12 с каким-либо элементом в упорядоченном массиве А и если совпадает, то определить порядковый номер S этого элемента. Иллюстрация применения метода бинарного поиска для поиска элемента Х=12 в массиве (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45) приведена на рис. 30.

Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Первое деление S=5, А(5)=10 А(5)<Х), исключаем левую половину.

Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Второе деление S=8, А(8)=30 А(8)>Х), исключаем правую половину.

Элементы массива А (2,3,4,6,10,12,20,30,35,45).
Номера элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.
Третье деление S=6, А(6)=12 А(6)=Х), элемент Х=12 найден.


8608658475513824.html
8608786823327032.html
8608847235025719.html
8608951523429725.html
8609042367952834.html